Comment étudier une fonction pour la continuité?




L’étude de la fonction de continuité en un point est réalisée selon le schéma de routine déjà synthétisé qui consiste à vérifier trois conditions de continuité:

Exemple 1

Enquêter sur la fonction sur la continuité. Déterminez la nature des ruptures de fonction, si elles existent. Exécutez le dessin.

Solution :

1) Un seul point frappe la vue. dans lequel la fonction n'est pas définie.

2) Calculer les limites unilatérales:

Les limites unilatérales sont finies et égales.

Donc au point fonction tolère un espace amovible.

À quoi ressemble le graphique de cette fonction?

Je veux simplifier et cela semble être la parabole habituelle. MAIS la fonction source n'est pas définie à par conséquent, la réservation suivante est requise:

Effectuer un dessin:

Réponse : la fonction est continue sur toute la droite numérique sauf le point. dans lequel elle tolère un écart amovible.

La fonction peut être définie de manière bonne ou pas très bonne, mais par condition, cela n’est pas nécessaire.

Vous dites, un exemple est artificiel? Pas du tout. Des dizaines de fois rencontrés dans la pratique. Presque toutes les tâches du site proviennent de véritables travaux indépendants et de contrôle.

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Exemple 2

Enquêter sur la fonction sur la continuité. Déterminez la nature des ruptures de fonction, si elles existent. Exécutez le dessin.

Solution : pour une raison quelconque, les étudiants ont peur et n’aiment pas les fonctions avec module, bien qu’ils ne présentent aucune difficulté. Nous avons déjà abordé un peu ces questions dans la leçon Transformations géométriques des graphes . Le module étant non négatif, il est décrit comme suit: où alpha est une expression. Dans ce cas , et notre fonction devrait signer de manière fragmentaire:

Mais les fractions des deux pièces à réduire de . La réduction, comme dans l'exemple précédent, ne se fera pas sans conséquences. Fonction source non définie à puisque le dénominateur va à zéro. Par conséquent, le système doit également spécifier la condition et la première inégalité faire strict:

Passons maintenant à une solution TRÈS UTILE : avant d’achever la tâche sur le brouillon, il est avantageux de réaliser un dessin (qu’il soit requis par condition ou non). Cela aidera, d’une part, à voir immédiatement les points de continuité et les points de discontinuité, et, d’autre part, vous épargnera à 100% des erreurs lors de la détermination de limites unilatérales.

Effectuer un dessin. Conformément à nos calculs, à gauche du point il faut dessiner un fragment de parabole (couleur bleue), et à droite - un morceau de parabole (couleur rouge), la fonction n'est pas définie au point même :

En cas de doute, prenez quelques valeurs X, remplacez-les dans la fonction (sans oublier que le module détruit un signe moins possible) et vérifiez le calendrier.


border=0


Nous étudions la fonction sur la continuité de manière analytique:

1) La fonction n'est pas définie au point par conséquent, nous pouvons immédiatement dire que ce n’est pas continu.

2) Définissez la nature de l'écart, pour cela nous calculons les limites unilatérales:

Les limites unilatérales sont finies et différentes, ce qui signifie que la fonction subit une discontinuité du premier type avec un saut au point . Notez que peu importe que la fonction soit définie au point de rupture ou non.

Il reste maintenant à transférer le dessin du brouillon (cela a été fait comme si à l’aide de recherches ;-)) et à achever la tâche:

Réponse : la fonction est continue sur toute la droite numérique sauf le point. dans lequel elle subit une rupture du premier type avec un saut.

Parfois, il est nécessaire d'indiquer en plus un saut de discontinuité. Il est calculé élémentairement - la limite gauche doit être soustraite de la limite droite: c'est-à-dire qu'au point de discontinuité, notre fonction a sauté de 2 unités (ce que le signe moins nous indique).

Exemple 3

Enquêter sur la fonction sur la continuité. Déterminez la nature des ruptures de fonction, si elles existent. Faites un dessin.

Ceci est un exemple pour une décision indépendante, un exemple de solution à la fin de la leçon.

Passons maintenant à la version la plus populaire et la plus courante de la tâche, lorsque la fonction est composée de trois éléments:

Exemple 4

Examiner la fonction pour la continuité et tracer la fonction

.

Solution : il est évident que les trois parties de la fonction sont continues aux intervalles correspondants. Il ne reste donc qu'à vérifier deux points du «joint» entre les pièces. Tout d'abord, nous allons exécuter un brouillon sur un brouillon. J'ai commenté la technique de construction de manière assez détaillée dans la première partie de l'article. La seule chose dont vous avez besoin de suivre attentivement nos points particuliers: en raison de l'inégalité le sens appartenant à straight (point vert), et en vertu de l'inégalité le sens appartient à la parabole (point rouge):

Eh bien, en principe, tout est clair =) Il reste à rendre une décision. Pour chacun des deux points “bout à bout”, nous vérifions régulièrement 3 conditions de continuité:



I) Nous recherchons un point de continuité.

1) - la fonction est définie à ce stade.

2) Trouver des limites unilatérales:


Les limites unilatérales sont finies et différentes, de sorte que la fonction souffre d'un écart du 1er type avec un saut au point .

Calculons le saut de discontinuité en tant que différence des limites droite et gauche:
, c’est-à-dire que le calendrier a précipité une unité.

II) Nous recherchons un point de continuité.

1) - la fonction est définie à ce stade.

2) Trouver des limites unilatérales:

- les limites unilatérales sont finies et égales, ce qui signifie qu'il existe une limite commune.

3) - la limite de la fonction au point est égale à la valeur de la fonction donnée au point donné.

Donc la fonction continu au point par définition, la continuité d'une fonction en un point.

Au stade final, nous transférons le dessin sur une copie pure, après quoi nous mettons l’accord final:

Réponse : la fonction est continue sur toute la droite numérique, à l'exception du point. dans lequel elle subit une rupture du premier type avec un saut.

Est fait.

Exemple 5

Examiner la fonction pour la continuité et la tracer .

Ceci est un exemple pour une solution indépendante, une solution brève et un exemple de tâche à la fin de la leçon.

On peut avoir l’impression qu’à un moment donné, la fonction doit nécessairement être continue, et à un autre moment, il doit y avoir un vide. En pratique, ce n'est pas toujours le cas. Essayez de ne pas négliger les exemples restants - il y aura quelques pièces intéressantes et importantes:

Exemple 6

Fonction Dana . Examiner la fonction sur la continuité aux points . Construire un graphique.

Solution : et à nouveau exécuter immédiatement un brouillon sur un brouillon:

La particularité de ce graphique est que avec la fonction par morceaux est donnée par l'équation de l'axe des abscisses . Ici, cette section est tracée en vert et dans un cahier, elle est généralement isolée hardiment avec un simple crayon. Et bien sûr, n'oubliez pas nos moutons: la valeur fait référence à la branche tangente (point rouge) et à la valeur appartenant à straight .

Du dessin, tout est clair - la fonction est continue sur toute la ligne numérique, il reste à former une solution qui aboutit à un automatisme complet, littéralement après 3 à 4 exemples similaires:

I) Nous recherchons un point de continuité.

1) - la fonction est définie à ce stade.

2) Calculer les limites unilatérales:

cela signifie qu'il existe une limite générale.

C'est arrivé ici une petite chose amusante. Le fait est que j'ai créé beaucoup de matériaux sur les limites de la fonction , et je voulais le faire plusieurs fois, et plusieurs fois, j'ai oublié une question simple. Et ainsi, par un effort de volonté incroyable, il s’obligea encore à ne pas perdre une pensée =) Très probablement, certains lecteurs, "théières", doutent: quelle est la limite d’une constante égale à? La limite d'une constante est égale à la constante elle-même. Dans ce cas, la limite zéro est zéro elle-même (limite du côté gauche).

Aller plus loin:

3) - la limite de la fonction au point est égale à la valeur de la fonction donnée au point donné.

Donc la fonction continu au point par définition, la continuité d'une fonction en un point.

II) Nous recherchons un point de continuité.

1) - la fonction est définie à ce stade.

2) Trouver des limites unilatérales:

Et ici, dans la limite de droite - la limite de l'unité est égale à l'unité elle-même.

- il y a une limite générale.

3) - la limite de la fonction au point est égale à la valeur de la fonction donnée au point donné.

Donc la fonction continu au point par définition, la continuité d'une fonction en un point.

Comme d'habitude, après la recherche, nous transférons notre dessin sur une copie pure.

Réponse : la fonction est continue aux points. .

Veuillez noter que, dans l’état actuel, nous n’avons rien demandé à propos de l’étude de la continuité de la fonction dans son ensemble et qu’il est considéré comme un bon ton mathématique de formuler une réponse précise et claire à la question posée. Soit dit en passant, si, à la condition, vous n'avez pas besoin de créer un programme, vous avez parfaitement le droit de ne pas le créer (bien que l'enseignant puisse le forcer).

Un petit "patter" mathématique pour une solution indépendante:

Exemple 7

Fonction Dana .

Examiner la fonction sur la continuité aux points . Catégoriser les points de rupture, le cas échéant. Exécutez le dessin.

Essayez de "prononcer" correctement tous les "mots" =). Et pour tracer un graphique plus précisément, la précision ne sera pas superflue partout ;-)

Comme vous vous en souvenez, j’ai recommandé d’effectuer immédiatement le dessin du brouillon, mais il existe de temps en temps de tels exemples, dans lesquels vous ne comprenez pas immédiatement à quoi ressemble le calendrier. Par conséquent, dans certains cas, il est avantageux de commencer par définir des limites unilatérales, puis uniquement sur la base de l’étude décrivant les branches. Dans les deux derniers exemples, nous maîtriserons également la technique de calcul de limites unilatérales:

Exemple 8

Explorez la fonction de continuité et construire son diagramme schématique.

Solution : les points négatifs sont évidents: (convertit à zéro le dénominateur de l'indicateur) et (convertit à zéro le dénominateur de la fraction entière). Il est difficile de comprendre à quoi ressemble le graphique de cette fonction, ce qui signifie qu'il est préférable de commencer par une étude:

I) Nous recherchons un point de continuité.

1) La fonction n'est pas définie à ce stade.

2) Trouver des limites unilatérales:

Faites attention à la méthode typique de calcul de la limite unilatérale : dans la fonction au lieu de "X", nous substituons . Au dénominateur de tout crime: "additif", "moins zéro" n'a pas d'importance, et il s'avère "quatre". Mais au numérateur est un petit thriller: d'abord au dénominateur de l'indicateur kill -1 et 1, entraînant . Une unité divisée par un nombre négatif infiniment petit est «moins l'infini», donc: . Et enfin, le "deux" à un degré infiniment grand est égal à zéro: . Ou, si plus de détails: .

Calculez la limite à droite:

Et ici - au lieu de "X" substitut . Au dénominateur "additif" encore n'a pas d'importance: . Au numérateur, des actions similaires à la limite précédente sont effectuées: nous détruisons les nombres opposés et divisons l'unité par un nombre positif infiniment petit :

La limite de droite étant infinie, la fonction subit une discontinuité du 2e type au point .

II) Nous recherchons un point de continuité.

1) La fonction n'est pas définie à ce stade.

2) Calculez la limite du côté gauche:

La méthode est la même: substitue dans la fonction au lieu de "X" . Il n'y a rien d'intéressant au numérateur - un nombre positif fini est obtenu . Et au dénominateur, nous ouvrons les crochets, supprimons la «troïka» et «l’additif» joue un rôle décisif. .

En résumé, un nombre positif fini divisé par un nombre positif infiniment petit donne «plus l'infini»: .

La limite de droite est comme un frère jumeau, à la seule exception qu'un nombre négatif infinitésimal flotte au dénominateur:

Les limites unilatérales étant infinies, la fonction subit une discontinuité du 2e type au point .

Nous avons donc deux points de rupture et, évidemment, trois branches du graphique. Pour chaque branche, il est conseillé d’effectuer une construction ponctuelle, c’est-à-dire prendre quelques valeurs X et les substituer dans . чертежа, и такое послабление естественно для ручной работы. Notez que la condition permet la construction d'un dessin schématique , et une telle indulgence est naturelle pour le travail manuel. Je construis des graphiques avec un programme, donc je n’ai pas de telles difficultés, voici une photo assez précise:

Lignes droites sont les asymptotes verticales pour le graphique de cette fonction.

Réponse : la fonction est continue sur toute la droite numérique, à l’exception des points. dans lequel elle tolère les discontinuités du 2e type.

Fonction plus simple pour une décision indépendante:

Exemple 9

Explorez la fonction de continuité et effectuer un dessin schématique.

La solution échantillon approximative à la fin, qui a rampé inaperçu.

A bientôt!

Solutions et réponses:

Exemple 3: Solution : convertir la fonction: . Compte tenu du module règle de divulgation et le fait que réécrivez la fonction sous forme de morceaux:

Nous étudions la fonction pour la continuité.

1) La fonction n'est pas définie au point .

2) Calculer les limites unilatérales:


Les limites unilatérales sont finies et différentes, ce qui signifie que la fonction subit une discontinuité du premier type avec un saut au point . Effectuer un dessin:

Réponse : la fonction est continue sur toute la droite numérique sauf le point. dans lequel elle subit une rupture du premier type avec un saut. Gap jump: (deux unités en place).

Exemple 5: Solution : chacune des trois parties de la fonction est continue sur son propre intervalle.
I) Nous recherchons un point de continuité.
1) - la fonction est définie à ce stade.

2) Calculer les limites unilatérales:


cela signifie qu'il existe une limite générale.
3) - la limite de la fonction au point est égale à la valeur de la fonction donnée au point donné.
Donc la fonction continu au point par définition, la continuité d'une fonction en un point.
II) Nous recherchons un point de continuité.

1) - la fonction est définie à ce stade.

2) Trouver des limites unilatérales:


Les limites unilatérales sont finies et différentes, de sorte que la fonction souffre d'un écart du 1er type avec un saut au point .
Gap jump: (cinq unités vers le bas).
Le dessin se trouve dans la première partie de l'article.
Réponse : la fonction est continue sur toute la droite numérique, à l'exception du point. dans lequel elle subit une rupture du premier type avec un saut.

Exemple 7: Solution :

I) Nous recherchons un point de continuité.

1) - la fonction est définie à ce stade.

2) Trouver des limites unilatérales:


La limite gauche est infinie, donc la fonction subit une discontinuité du 2e type au point .
II) Nous recherchons un point de continuité.

1) - la fonction est définie à ce stade.

2) Trouver des limites unilatérales:


Les limites unilatérales sont finies et différentes, de sorte que la fonction souffre d'un écart du 1er type avec un saut au point .
Effectuer un dessin:

Réponse : au point la fonction souffre d'un écart du 2e type au point la fonction subit une discontinuité du premier type avec saut.

Exemple 9: Solution : examiner le point pour la continuité :

1) La fonction n'est pas définie à ce stade.

2) Calculer les limites unilatérales:


La limite gauche est infinie, donc la fonction subit une discontinuité du 2e type au point .
Effectuer un dessin:

Réponse : la fonction est continue sur toute la droite numérique sauf le point. dans lequel elle souffre d'un écart du 2ème genre.

Auteur: Emelin Alexander

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Comment trouver le domaine d'une fonction?

Exemples de solutions

Si quelque part il n'y a pas quelque chose, alors quelque part il y a quelque chose

Nous continuons à étudier la section "Fonctions et graphiques", et la prochaine étape de notre parcours est le domaine de définition de la fonction . Une discussion active de ce concept a commencé dès la première leçon sur les diagrammes de fonctions , où je considérais les fonctions élémentaires et, en particulier, leurs domaines de définition. Par conséquent, je recommande aux théières de commencer par les bases du sujet, car je ne reviendrai pas sur quelques points fondamentaux.

On suppose que le lecteur connaît le domaine de définition des fonctions de base: linéaire, quadratique, fonction cubique, polynômes, exponentiel, logarithme, sinus, cosinus. Ils sont définis sur . Pour les tangentes, arcsine, ainsi soit-il, pardonnez =). Les graphiques les plus rares ne sont pas immédiatement mémorisés.

Le domaine de la définition est une chose apparemment simple, et une question naturelle se pose: de quoi parlera l'article? Dans cette leçon, nous allons examiner les tâches courantes pour trouver le domaine d’une fonction. De plus, nous répéterons les inégalités avec une variable , les compétences de résolution qui seront nécessaires dans d'autres problèmes de mathématiques supérieures. Le matériel, en passant, concerne tout l’école, il sera donc utile non seulement pour les étudiants, mais également pour les étudiants. L'information, bien sûr, ne prétend pas être encyclopédique, mais il n'y a pas d'exemples farfelus de "morts", mais de châtaignes grillées, qui sont tirées de travaux pratiques réels.

Commençons par couper express dans le sujet. Brièvement sur l’essentiel: nous parlons de la fonction d’une variable . Son domaine est l' ensemble des valeurs de "X" pour lesquelles il existe des valeurs de "joueurs". Prenons un exemple conditionnel:

Le domaine de cette fonction est l'union des espaces:
(pour ceux qui ont oublié: - icône de fusion). En d'autres termes, si vous prenez une valeur de "X" dans l'intervalle ou de ou de , alors pour chacun de ces "X", il y aura une valeur "jouer".

Grosso modo, là où se trouve le domaine, il existe un graphe de fonctions. Mais le demi-intervalle et le "tse" point n'est pas inclus dans le domaine de définition, donc les graphiques ne sont pas là.

Oui, en passant, si quelque chose ne ressort pas de la terminologie et / ou du contenu des premiers paragraphes, il est préférable de revenir à l'article Tableaux et propriétés des fonctions élémentaires .

Comment trouver le domaine d'une fonction? Beaucoup de gens se souviennent du décompte des enfants: "pierre, ciseaux, papier" et dans ce cas, il peut être facilement reformulé: "racine, fraction et logarithme". Ainsi, si vous trouvez une fraction, une racine ou un logarithme sur votre chemin de vie, vous devriez immédiatement être très très méfiant! La tangente, la cotangente, l'arcsine et l'arc cosinus sont beaucoup moins répandus et nous en parlerons également. Mais d’abord, des croquis de la vie de fourmis:





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